Finalização

Foram postadas as seguintes matérias de Física: Transformações do Sis. Métrico, Calorimetria, Termometria, Energia Potencial Elástica, Energia Potencial Gravitacional e Energia Cinética.
 E Matrizes em Matemática. Esperamos que todos tenham gostado do blog e que ele facilite bastante no entendimento das determinadas matérias. Obrigado aos Leitores, e bom estudo a todos!
Postado pelas alunas: Ágatha, Brenda, Caroline, Pryscilla e Thomas da turma 211, do Colégio Candido José de Godói, baseados nas matérias dadas pelos professores: Jaqueline (física) e Leandro (matemática).

Operações com matrizes

Matriz transposta

Dada uma matriz A do tipo m x n, chama-se transposta de A e indica-se por A^t a matriz que se obtém trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas de A. A operação de obtenção de uma matriz transposta de A é denominada transposição da matriz. Observe o exemplo:

Note que A é do tipo 3 x 2 e A^t é do tipo 2 x 3 e que, a matriz transposta , a primeira linha corresponde à primeira coluna da matriz original e a segunda linha à segunda coluna, também da matriz original.

Igualdade de matrizes

Duas matrizes, A e B, serão iguais se forem do mesmo tipo e se os elementos correspondentes forem iguais. Assim, se A=(a_ij) e B=(b_ij) são matrizes do tipo m x n, então:

Exemplo: determine x e y para que as matrizes A e B sejam iguais

Solução:

Adição de matrizes

Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz soma (A+B) a matriz obtida adicionando-se os elementos correspondentes de A e B.

Exemplo: Dada as matrizes A e B determine A+B.

Solução:

Propriedades da adição

Sendo A, B, C e O(matriz nula) matrizes de mesmo tipo e p, q ∈ R, valem as propriedades:

- Comutativa: A+B = B+A

- Associativa: A+(B+C) = (A+B)+C

- Elemento neuto: A+O = O+A = A

Matriz oposta

Chama-se matriz oposta de A a matriz –A, cuja soma com A resulta na matriz nula. Exemplo:

Dada a matriz:

A oposta de A será

pois:

Subtração de matrizes

Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz diferença (A-B) a matriz obtida subtraindo-se os elementos correspondentes de A e B.

Tipos de matrizes

a) Matriz Linha

É a matriz que possui uma única linha.

Exemplos

1) A = [–1, 0]

2) B=[1 0 0 2]

b) Matriz Coluna

É a matriz que possui uma única coluna.

Exemplos

c) Matriz Nula

É a matriz que possui todos os elementos iguais a zero.

Exemplos

d) Matriz Quadrada

É a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas.

Exemplos

Observações:

1ª) Quando uma matriz não é quadrada, ela é chamada de retangular.

2ª) Dada uma matriz quadrada de ordem n, chamamos de diagonal principal da matriz ao conjunto dos elementos que possuem índices iguais.

Exemplo

{a11, a22, a33, a44} é a diagonal principal da matriz A.

3ª) Dada a matriz quadrada de ordem n, chamamos de diagonal secundária da matriz ao conjunto dos elementos que possuem a soma dos dois índices igual a n + 1.

Exemplo:

{a14, a23, a32, a41} é a diagonal secundária da matriz A.

e) Matriz Diagonal

É a matriz quadrada que apresenta todos os elementos, não pertencentes à diagonal principal, iguais a zero.

Exemplos

f) Matriz Identidade

É a matriz diagonal que apresenta todos os elementos da diagonal principal iguais a 1.

Representamos a matriz identidade de ordem n por In.

Exemplos:

Observação:

Para uma matriz identidade In = (aij)n × n

g) Matriz Transposta

Dada uma matriz A, chamamos de matriz transposta de A à matriz obtida de A trocando-se, “ordenadamente”, suas linhas por colunas. Indicamos a matriz transposta de A por At.

Exemplos

Observação:

Se uma matriz A é de ordem m × n, a matriz At, transposta de A, é de ordem n × m.

Matrizes

Em matemática chamamos a organização de dados numéricos em tabelas de matriz. As matrizes são compostas de linhas e colunas: As horizontas são as linhas e as verticais as colunas. São eles que determinam a ordem da matriz.
Para indicarmos cada elemento da matriz utilizamos uma letra minúscula acompanhada de dois índices:
i localização da linha e j localização da coluna. /

Exercícios de Matrizes 

- Determine a matriz A=(aij)3x2, tal que aij = i²-j.

 

a11= 1² - 1 = 0
a21 = 2² - 1 = 3
a31 = 3² - 1 = 8

a12 = 1² - 2 = -1
a22 = 2² - 2 = 2
a32 = 3³ - 2 = 7

Tabela de Transformações do Sistema Métrico

Calorimetria

Calor

Quando colocamos dois corpos com temperaturas diferentes em contato, podemos observar que a temperatura do corpo "mais quente" diminui, e a do corpo "mais frio" aumenta, até o momento em que ambos os corpos apresentem temperatura igual. Esta reação é causada pela passagem de energia térmica do corpo "mais quente" para o corpo "mais frio", a transferência de energia é o que chamamos calor.

Calor é a transferência de energia térmica entre corpos com temperaturas diferentes.

A unidade mais utilizada para o calor é caloria (cal), embora sua unidade no SI seja o joule (J). Uma caloria equivale a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura de um grama de água pura, sob pressão normal, de 14,5°C para 15,5°C.

A relação entre a caloria e o joule é dada por:

1 cal = 4,186J

Partindo daí, podem-se fazer conversões entre as unidades usando regra de três simples.

Como 1 caloria é uma unidade pequena, utilizamos muito o seu múltiplo, a quilocaloria.

1 kcal = 10³cal

Calor sensível

É denominado calor sensível, a quantidade de calor que tem como efeito apenas a alteração da temperatura de um corpo.

Este fenômeno é regido pela lei física conhecida como Equação Fundamental da Calorimetria, que diz que a quantidade de calor sensível (Q) é igual ao produto de sua massa, da variação da temperatura e de uma constante de proporcionalidade dependente da natureza de cada corpo denominada calor específico.

Assim:

Q = m.c.Δt

Onde:

Q = quantidade de calor sensível (cal ).

c = calor específico da substância que constitui o corpo (cal/g°C).

m = massa do corpo (g).

Δt = variação de temperatura (°C).

Quando:

Q>0: o corpo ganha calor.

Q<0: o corpo perde calor.

Exemplo:

Qual a quantidade de calor sensível necessária para aquecer uma barra de ferro de 2kg de 20°C para 200°C? Dado: calor específico do ferro = 0,119cal/g°C.

2kg = 2000g

Q = m.c.Δt

Q= 2000.0,119.(200-20)

Q= 2000.0,119.180

Q= 42840 cal

Para aquecer 1 kg de uma substância de 10 ⁰C a 60 ⁰C, foram necessárias 400 cal.

Determine:

a) o calor específico do material

b) a capacidade térmica da substância

m = 1kg = 1000 g
Q =  400 cal
t₀ = 10 ⁰C
t_f = 60 ⁰C.

a) Pela equação da quantidade de calor obtemos o calor específico da substância:
Q = m.c.∆t
400 = 1000 . c . (60-10)
400 = 1000 . c.50
400 / 50 000 = c
c = 0,008 (cal / g . ⁰C )

b) A capacidade térmica é obtida pela equação C = m.c, logo:
C = m.c
C = 1000 . 0,008
C = 8 cal/⁰C

Um bloco de ferro com massa de 100g esta a uma temperatura de 36°c. O calor especifico do ferro é igual a 0,114 cal/g.°C.Qual a quantidade de calor que o bloco deve ceder para que sua temperatura varie de 36°c a -8°c ?

m= 100g                                           Q= m.c.Δt
     t = 36°c                                        Q= 100. 0,114 (-8-36)
c= 0,114                                            Q= 114 (-44)
                                                           Q= -5.016 cal
                                   

um bloco de 300g de ferro encontra-se a uma temperatura de 100°c. Qual será sua temperatura quando dele se retirarem -2000 calorias ? A temperatura final vale ?
Dado o calor especifico do ferro igual a 0,110 cal/g.°C

m=300g                             Q=m.c.Δt

c=0,110                      -2000=300.0,110. (tf-100)
Q=-2000                    -2000=33tf-3300
ti= 100°c                   -2000 + 3300=33tf
                                                  1300=33tf
                                                   1300=tf  
                                                    33             

                                              tf= 39.39 °c       

                                                                                 

Termometria

Como havíamos prometido está aí a parte de Termometria, amanhã postaremos Calorimetria, Transformações do Sis. Métrico e Matrizes, aguardem!

Termometria é um ramo da física em que se investigam os fenômenos relacionados especificamente com a energia cinética.
Os aparelhos que permitem medir a temperatura de um corpo são chamados termometria.
O calor flui de um corpo de temperatura maior para um corpo de temperatura menor. Após certo tempo as temperaturas dos dois corpos se igualam. Nesse momento o fluxo de calor é interrompido e se diz que os corpos se encontram em equilíbrio térmico.
A temperatura é a medida de nível energia interna em um corpo. Calor é a passagem de energia de um corpo para outro entre eles.
A lei zero da termodinâmica diz que se dois corpos estão em equilíbrio térmico com um terceiro corpo, eles estão em equilíbrio térmico entre si.

                                         
 Fórmulas:

                                                   TK =  TF-32               TK = TC + 273
                                                     5          9

TC: temperatura em Celcius (°C)

TK: temperatura Kelvin (°K )

TF: Temperatura Farheneit (°F)

 Exercícios

1-      Transforme :

a)      97° F                 °c

b)      43,8 °c              °K

      a) tc  = tf-32        tc= 97-32           
              5         9          5     9

        tc= 65      tc= 7,22222222         tc  = 7,2222222 x 5      tc= 36,11°C  
         5     9       5                                   5

      b) tk= tc + 273
        tk= 43,8+273
       tk= 316,8 k

2-      Determine a temperatura na escala °F que corresponde a 310,5 °K .

tk= tc + 273                         7,5  x 9=tf – 32                
310,5= tc+273                    67,5 = tf – 32   

310,5-273=tc                      67,5+32= tf

tc=37,5                                tf = 99,5

37,5 =   tf-32                      
  5            9                                     

7,5= tf-32    

                       9

    
3-Uma temperatura na escala °F é indicada por um numero que é o dobro daquele pelo          qual ela é representada na escala °C. Essa temperatura em °F é ?

X  =  2x-32                 9x = 10x – 160
5         9                       x= 160 °c / 320°F

4-Em certa época do ano, a temperatura em uma colônia de pingüins é -50°F .Expresse essa temperatura em °c .

tc= tf-32 
5      9

tc=- 50 – 32
  5         9

tc= 9,11111111
5

tc= 9,1111111 x 5 = - 45,55 °c